Jekyll2023-10-26T21:05:08+00:00https://laformadelatierra.com/feed.xmlLa Forma de la TierraLa Forma de la TierraDiego J. MuñozEscarbando en Bennu2023-10-25T00:00:00+00:002023-10-25T00:00:00+00:00https://laformadelatierra.com/astronomia/bennu<p>El 24 de Septiembre de 2023, la misión espacial OSIRIS-REx mission volvió a la Tierra después de más de seis años desde su lanzamiento.</p>
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<iframe src="https://www.youtube-nocookie.com/embed/CZtD-FRKSjg" frameborder="0" webkitallowfullscreen="" mozallowfullscreen="" allowfullscreen=""></iframe>
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<iframe width="560" height="315" src="https://svs.gsfc.nasa.gov/4482/#media_group_332438" frameborder="0"> </iframe>Diego J. MuñozEl 24 de Septiembre de 2023, la misión espacial OSIRIS-REx mission volvió a la Tierra después de más de seis años desde su lanzamiento.Estamos de vuelta!2023-10-20T00:00:00+00:002023-10-20T00:00:00+00:00https://laformadelatierra.com/tierra/estamos-de-vueltaDiego J. Muñoz¿Por qué los eclipses solares van de Oeste a Este?2020-12-07T00:00:00+00:002020-12-07T00:00:00+00:00https://laformadelatierra.com/tierra/porque-los-eclipses-van-de-oeste-a-este%20Go%20to%20file<p>¿Por qué los eclipses solares van de Oeste a Este? Respuesta corta: porque la Luna se mueve de Oeste a Este.</p>
<aside class="sidebar__right">
<nav class="toc">
<header><h4 class="nav__title"><i class="fas fa-file-alt"></i> Contenidos</h4></header>
<ul class="toc__menu" id="markdown-toc">
<li><a href="#errorcomun" id="markdown-toc-errorcomun">Un Error Común</a></li>
<li><a href="#lalunasemueve" id="markdown-toc-lalunasemueve">La Luna se Mueve!</a></li>
<li><a href="#velocidadrelativa" id="markdown-toc-velocidadrelativa">Velocidad Relativa</a></li>
<li><a href="#eclipseensudamerica" id="markdown-toc-eclipseensudamerica">Eclipse en Sudamérica</a></li>
</ul>
</nav>
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<h2 id="errorcomun">Un Error Común</h2>
<p>La Tierra demora 24 horas en completar una rotación, mientras que la Luna aproximadamente 28 días en completar una órbita alrededor de la Tierra. Entonces, a veces la gente concluye (erróneamente) que la Luna se desplaza más lento que la superficie de la Tierra. Esto llevaría a la siguiente (nuevamente errónea) conclusión: la sombra de la Luna en la superficie terrestre debería desplazarse de Este a Oeste, determinada principalmente por la rotación de la Tierra con la Luna aproximadamente fija. Como muestra la siguiente Figura</p>
<figure>
<img src="/images/earth_moon-1.pdf" alt="image" />
<figcaption> Eclipses con una Luna fija (figure credit D.J.Munoz). </figcaption>
</figure>
<p>El error se encuentra en asumir que la Luna se encuentra fija. En realidad, la Luna se mueve más rápido que la superficie de la Tierra, y por lo tanto, la sombra de la Luna se sobrepone a la rotación terrestre.</p>
<h2 id="lalunasemueve">La Luna se Mueve!</h2>
<p>Para entender esta diferencia de velocidades, lo primero que hay que notar es la escala espacial. Usualmente, la escala del sistema Tierra-Luna se expresa como en la primera figura, cuando en realidad es así:</p>
<figure>
<img src="/images/earth_moon-3.png" alt="image" />
<figcaption> Sistema Tierra-Luna a escala (figure credit D.J.Munoz). </figcaption>
</figure>
<p>¡La Luna está lejos! Podemos más claramente que la órbita de la Luna es mucho más grande que la Tierra si la dibujamos así, tomando en cuenta adicionalmente el tamaño del Sol.</p>
<figure>
<img src="/images/earth_moon-2.png" alt="image" />
<figcaption> Sistema Tierra-Luna a escala (figure credit D.J.Munoz). </figcaption>
</figure>
<p>¡Ahora la Luna apenas se ve! Lo imporante de esta figura a escala es que demuestra que el rango de posiciones en que la Luna puede potencialmente bloquear (parte de) el Sol es muy pequeño (banda gris), y que a la Luna le toma un tiempo mucho más corto que 28 días en cruzar ese rango. Veamos…</p>
<h2 id="velocidadrelativa">Velocidad Relativa</h2>
<p>Ya que la Luna demora 28 días en completar una orbita (casi) circular de radio 384400 km, entonces la velocidad linear de la Luna es
\begin{align}
v_{\rm L}= 2\pi\frac{384400 {\rm km}}{28 {\rm d}}\approx 3600 {\rm km/h}
\end{align}</p>
<p>lo que es más de 2 veces más rápido que la velocidad de rotación terrestre en el ecuador
\begin{align}
v_{\oplus,{\rm eq}}= 2\pi\frac{6371 {\rm km}}{1 {\rm d}}\approx 1700 {\rm km/h}
\end{align}</p>
<p>Entonces, mientras que la Luna demora 28 días en completar una circunferencia de \(2\pi\times 384400 {\rm km}\approx2.5\) millones de kilómetros, solamente se demora
\(2\times 6371 {\rm km}/v_{\rm L}\approx 3.5\) horas en cruzar un diámetro terrestre.</p>
<p>Como la Tierra rota en la misma dirección que la Luna, le “quita” velocidad a ésta, pero no la alcanza a pillar. Entonces, la velocidad neta de la Luna relativa a la superficie terrestre, y por ende la velocidad de su sombra (umbra) proyectada sobre la Tierra, es de
\begin{align}
v_{\rm sombra}= v_{\rm L}- v_{\oplus,{\rm eq}} \approx 900 {\rm km/h}
\end{align}
que es una cantidad positiva, y por lo tanto indica que la sombra lunar se mueve de Oeste a Este así como la Luna, a pesar de el efecto contrarrestante de la rotación terrestre.</p>
<p>En conclusión, ahora podemos actualizar la primera figura para incluir el efecto del movimiento lunar. La figura queda así (aunque todavía <strong>no</strong> está a escala)</p>
<figure>
<img src="/images/earth_moon-4.png" alt="image" />
<figcaption> Eclipses con una Luna móvil (figure credit D.J.Munoz). </figcaption>
</figure>
<h2 id="eclipseensudamerica">Eclipse en Sudamérica</h2>
<p>Este 14 de Diciembre, un eclipse solar total cruzará Sudamérica, pasando por la zona centro-sur de Chile (a la altura de Temuco):</p>
<div style="position:relative; width:100%; height:0px; padding-bottom:100%;">
<iframe style="position:absolute; left:0; top:0; width:100%; height:100%" src="https://eclipsophile.com/wp-content/uploads/2017/10/fig1.jpg">
</iframe>
</div>
<p>La distancia en línea recta entre Temuco (Chile) y Viedma (Argentina) es de sólo 850 km, lo que implica que el movimiento de la umbra, de comienzo en Chile a fin en Argentina, tomará aproximadamente una hora.</p>Diego J. Muñoz¿Por qué los eclipses solares van de Oeste a Este? Respuesta corta: porque la Luna se mueve de Oeste a Este.¿Por qué el océano se mantiene pegado a la Tierra?2019-02-03T00:00:00+00:002019-02-03T00:00:00+00:00https://laformadelatierra.com/tierra/porque-el-oceano-se-mantienene-pegado-a-la-tierra<p>¿Por qué el océano se mantiene pegado a la Tierra a medida que ésta rota? Porque 1600 km/h NO es tan rápido como tú crees.</p>
<aside class="sidebar__right">
<nav class="toc">
<header><h4 class="nav__title"><i class="fas fa-file-alt"></i> Contenidos</h4></header>
<ul class="toc__menu" id="markdown-toc">
<li><a href="#velocidad-de-escape-y-pozos-de-potencial" id="markdown-toc-velocidad-de-escape-y-pozos-de-potencial">Velocidad de escape y pozos de potencial</a></li>
<li><a href="#velocidad-de-ruptura" id="markdown-toc-velocidad-de-ruptura">Velocidad de ruptura</a></li>
<li><a href="#estrellas-que-rotan-rápido" id="markdown-toc-estrellas-que-rotan-rápido">Estrellas que rotan rápido</a></li>
</ul>
</nav>
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<p>La velocidad de rotación de la Tierra en el ecuador es de aproximadamente 1600 kilómetros por hora. Esta velocidad suena muy alta, no? Pero alta respecto a qué? Sin duda es alta respecto a la velocidad a la que caminamos (1.4 metros por segundo o 5 kilómetros por hora). No suena <em>tan</em> alta comparada con la velocidad promedio de un avión comercial (un Boeing 777 alcanza velocidades crucero de 900 kilómetros por hora), y sin duda es baja comparada con la velocidad de un <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Lockheed_SR-71_Blackbird">Lockheed SR-71 Blackbird</a>, que alcanza velocidades de 3500 kilómetros por hora.
Cuando uno habla de una velocidad “alta”, esto sólo tiene sentido un términos relativos.</p>
<p><strong>Entonces ¿es 1600 km/h una velocidad alta?</strong></p>
<p>Un punto de referencia adecuado es la velocidad a la cual que la Tierra <strong>podría potencialmente rotar</strong>.
La Tierra sólo puede rotar a una velocidad máxima; más rápido y se comienza a desarmar. En efecto, <strong>a tales velocidades, los océanos serían puestos en órbita</strong>. ¿Qué determina este máximo?</p>
<p>Veamos a continuación…</p>
<h2 id="velocidad-de-escape-y-pozos-de-potencial">Velocidad de escape y pozos de potencial</h2>
<p>Como lo explica de forma excelente <a href="https://www.explainxkcd.com/wiki/index.php/681:_Gravity_Wells">esta publicación de xkcd</a>, los planetas tienen un <strong>pozo de potencial gravitacional</strong>. Mientras más profundo este pozo (es decir, mientras más masa tienen los planetas o más cerca estamos de ellos), más difícil es escapar de su gravedad. A mayor profundidad (o mayor energía gravitacional), uno necesita más energía de movimiento (energía cinética) para escapar de la atracción del planeta. Entonces, la ecuación de esta competencia es sencilla: <strong>energía gravitacional versus energía cinética</strong>. Los cohetes que son lanzados al espacio necesitan alcanzar cierto nivel de velocidad para poder competir con la atracción del planeta. Esta velocidad, llamada <strong>velocidad de escape</strong> es:
\begin{align}
v_{\rm escape}=\sqrt{\frac{2GM_{\rm Tierra}}{R_{\rm Tierra}}}\approx 40000~ {\rm km/h}
\end{align}
Lo que es casi 30 veces mayor que la velocidad de rotación de la superficie terrestre.</p>
<p>Esta competencia entre el pozo de potencial y la energía de movimiento tiene una analogía con una juguera (licuadora) que funciona a varias velocidades (ver figura abajo).</p>
<figure>
<img src="/images/blender_single.png" alt="Foo" />
<figcaption> Juguera (figure credit D.J.Munoz). </figcaption>
</figure>
<p>Si la juguera es muy grande (o digamos, el frasco muy alto), no es necesario usar la tapa. Alternativamente, si ésta está funcionando a bajas revoluciones, tampoco es necesario taparla. Es sólo cuando la energía cinética (revoluciones) empieza a competir con el pozo de potencial (altura del frasco) que necesitamos usar la tapa. Ilustramos esto en el esquema siguiente</p>
<figure>
<img src="/images/blender_scenarios.png" alt="Foo" />
<figcaption> Varias jugueras (figure credit D.J.Munoz). </figcaption>
</figure>
<p>Algo similar pasa con los océanos de la Tierra. La velocidad de rotación está tan por debajo de la velocidad de escape que el agua no tiene a dónde irse.</p>
<p>Sin embargo, la historia podría ser distinta si la Tierra rotara, digamos, 17 veces más rápido. En ese caso, la distribución de los océanos en la Tierra sería muy distinta, el agua se empezaría a concentrar en el ecuador y parte de ella saldría disparada al espacio.</p>
<figure>
<img src="/images/earth_rotation.png" alt="Foo" />
<figcaption> Dos extremos en la rotación de un planeta (figure credit D.J.Munoz). </figcaption>
</figure>
<p>A continuación, mostramos cómo calcular qué tan rápido debe rotar la Tierra para que esto pase.</p>
<h2 id="velocidad-de-ruptura">Velocidad de ruptura</h2>
<p>Cualquier objeto unido por la gravedad (la Tierra, otro planeta o una estrella) tiene un propiedad conocido como la “velocidad de ruptura”. <strong>Si el objeto rota más rápido que este límite, el éste se desarma</strong>. El período de rotación al límite de ruptura es:
\begin{align}
P_{\rm ruptura}=2\pi\sqrt{\frac{R^3}{GM}}
\end{align}
En el caso de la Tierra, \(P_{\rm ruptura}\approx1.4~\) horas, es decir, 17 veces más rápido que el período de rotación actual.</p>
<p>Simplemente, <strong>la Tierra rota demasiado lento como para poder lanzar sus océanos volando por el espacio</strong>. Para poder lograr aquello, el día tendría que durar alrededor de una sola hora en lugar de 24.</p>
<h2 id="estrellas-que-rotan-rápido">Estrellas que rotan rápido</h2>
<p>La física de deformación rotacional es aplicable tanto a planetas coma a estrellas. De hecho, la geometría de una esfera de fluido deformada por la rotación <strong>se puede calcular exactamente</strong> (los detalles los dejamos para otro post). Esta forma se conoce como <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Spheroid#Oblate_spheroids"><strong>esferoide oblato</strong></a>.</p>
<p>Una de las estrellas que más rápido rota es Altair (la estrella más brillante en la constelación del <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Aquila_(constelación)">Aguila</a> y que se puede ver durante el invierno en Chile). Esta estrella <strong>rota tan rápido</strong> que su deformación se ha medido directamente (ver <a href="http://science.sciencemag.org/content/317/5836/342.full">Monnier et al (2007)</a>) usando una técnica de observación conocida como interferometría.
La <a href="https://earthsky.org/brightest-stars/altair-the-bluish-jewel-of-the-eagle?utm_campaign=shareaholic">siguiente figura</a> corresponde a tal medición.</p>
<p><a href="https://earthsky.org/brightest-stars/altair-the-bluish-jewel-of-the-eagle?utm_campaign=shareaholic"><img src="http://en.es-static.us/upl/2015/08/altair-800.jpg" alt="" /></a></p>
<p><strong>El período de rotación correspondiente a esta deformación es de 8.9 horas!</strong> (como referencia, el Sol rota cada 24 días). Esta tasa de rotación corresponde a 290 kilómetros por hora en el ecuador de la estrella. Para una estrella como Altair, el período de rotación al límite de ruptura es \(P_{\rm ruptura}\approx~\)6 horas, es decir, solamente \(30\%\) más rápido que s= rotación real. Altair rota tan rápido que está cerca de desarmarse!</p>Diego J. Muñoz¿Por qué el océano se mantiene pegado a la Tierra a medida que ésta rota? Porque 1600 km/h NO es tan rápido como tú crees.Chicago a la Distancia2018-09-01T00:00:00+00:002018-09-01T00:00:00+00:00https://laformadelatierra.com/tierra/chicago-a-la-distancia<p>La ciudad de Chicago puede verse a grandes distancias debido a sus altos edificios y la escasa topografía de la zona. Incluso se puede ver desde Michigan City, al otro lado del enorme Lago Michigan.</p>
<aside class="sidebar__right">
<nav class="toc">
<header><h4 class="nav__title"><i class="fas fa-file-alt"></i> Contenidos</h4></header>
<ul class="toc__menu" id="markdown-toc">
<li><a href="#objetos-detrás-del-horizonte" id="markdown-toc-objetos-detrás-del-horizonte">Objetos detrás del horizonte</a></li>
<li><a href="#la-fracción-de-los-edificios-bloqueada-por-el-horizonte" id="markdown-toc-la-fracción-de-los-edificios-bloqueada-por-el-horizonte">La fracción de los edificios bloqueada por el horizonte</a></li>
<li><a href="#chicagodesdemichigan" id="markdown-toc-chicagodesdemichigan">Calculando cómo se ve Chicago desde Michigan City</a></li>
<li><a href="#fotosdesdemichigan" id="markdown-toc-fotosdesdemichigan">Fotos tomadas desde Michigan City</a></li>
</ul>
</nav>
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<hr />
<hr />
<p>La siguiente es una foto reciente de Chicago (dominio público) vista desde el Sureste. En ella se pueden ver los rascacielos más emblemáticos, como la <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Willis_Tower">torre Sears</a> (ahora se llama Willis) a la izquierda de la foto.</p>
<figure>
<img src="/images/chicago-skyline-from-planetarium.jpg" alt="Foo" />
<figcaption> Chicago // Imagen de dominio público (CreativeCommons license). </figcaption>
</figure>
<p>Otra toma similar, pero de noche, es la siguiente:</p>
<figure>
<img src="/images/chicago-2263349_1920.jpg" alt="Foo" />
<figcaption> Chicago // Imagen de dominio público (CreativeCommons license). </figcaption>
</figure>
<p>Ambas fotos está tomadas desde <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Adler_Planetarium">el planetario Adler</a>, ubicado en las coordenadas 41°51′59″N (latitud) 87°36′24″W(longitud). Por comparación, las
coordenadas de la torre Sears son 41°52′44″N (latitud) 87°38′09″W (longitud). La observación desde el sureste es relevante porque es la misma dirección (a grandes rasgos) que la de Michigan City, la cual discutiremos en detalle más abajo.</p>
<h2 id="objetos-detrás-del-horizonte">Objetos detrás del horizonte</h2>
<p>Primero, expliquemos cómo se ven los rascacielos a grandes distancias. En lo siguiente, usaremos algunas de las cosas que aprendimos en <a href="https://laformadelatierra.com/tierra/punto-de-fuga/">un post anterior</a>. Necesitamos recordar dos cosas: (1) que el tamaño aparente (o tamaño angular) de un objeto disminuye con la distancia, y (2) que la distancia al horizonte depende de la altura del nivel de los ojos. El único concepto novedoso, es que objetos <strong>detrás del horizonte sí pueden ser visibles</strong>. Para ejemplificar, usemos la siguiente figura:</p>
<figure>
<img src="/images/behind_horizon.png" alt="Foo" />
<img src="/images/behind_horizon_2.png" alt="Foo" />
<figcaption> Observación de un edificio ubicado por detrás del horizonte. Caso superior: el observador está ubicado con sus pies a cero elevación. Caso inferior: el observador aumenta su altura efectiva al estar parado sobre un relieve (figure credit D.J.Munoz). </figcaption>
</figure>
<p>En este caso, el horizonte – según el observador de la izquierda – se encuentra a menor distancia que el edificio. Sin embargo, el edificio se puede ver. En este caso, <strong>la Tierra misma es un obstáculo que bloquea (parcialmente) la observación del edificio</strong>. Notemos que si el observador está ubicado a una altura mayor que que el radio promedio terrestre (sobre una loma u otro edificio), éste podrá ver una porción mayor del edificio de la derecha. Esta sutileza es importante porque, <a href="#fotosdesdemichigan">cuando comparemos con fotos reales</a>, la altura de la cámara determina la fracción de los edificios que se pueden ver.</p>
<h2 id="la-fracción-de-los-edificios-bloqueada-por-el-horizonte">La fracción de los edificios bloqueada por el horizonte</h2>
<p>(Atención: esta sección contiene cálculos. Si prefieres saltarte los detalles, continua en la <a href="#chicagodesdemichigan">sección
siguiente</a>)</p>
<p>Ahora, veamos con más atención la geometría del observador y el edificio que
esta <strong>detrás del horizonte</strong>:</p>
<figure>
<img src="/images/behind_horizon_geometry.png" alt="Foo" />
<figcaption> Geometría básica de la observación de objetos por detrás del horizonte (figure credit D.J.Munoz). </figcaption>
</figure>
<p>Al igual que <a href="https://laformadelatierra.com/tierra/punto-de-fuga/">antes</a>, la geometría de la observación está descrita por triángulos rectángulos</p>
<figure>
<img src="/images/behind_horizon_geometry_2.png" alt="Foo" />
<figcaption> Dos triángulos rectángulos explican la geometría básica detrás de la observación de objetos ubicados más allá del horizonte (figure credit D.J.Munoz). </figcaption>
</figure>
<p>Y ya sabemos que podemos usar el teorema de Pitágoras para escribir una relación entre
todas las distancias involucradas:
\begin{align}
d_1^2 &= (R + h)^2 - R^2 = 2Rh + h^2 \<br />
{\rm y}\<br />
d_2^2 &= (R + H_1)^2 - R^2 = 2RH_1 + H_1^2 \<br />
\end{align}</p>
<p>Sabiendo la distancia en línea recta \(D\) (que entre Chicago y Michigan City es de 60 km), lo que nos falta saber es <strong>la altura escondida por la curvatura terrestre</strong> \(H_1\). De las fórmulas anteriores, podemos derivar que
\begin{align}
H_1^2 &= R + \sqrt{R^2+(D-d_1)^2}
\end{align}</p>
<p>Finalmente, lo único que nos falta es calcular el <strong>tamaño aparente o tamaño angular de los objetos a medida que nos alejamos</strong>. En la fotos de Chicago mostradas al principio de este post, la extensión horizontal \(s\) cubierta por la imagen es de 3 a 4 kilómetros. De nuestro <a href="https://laformadelatierra.com/tierra/punto-de-fuga/">post anterior</a>, sabemos que el tamaño angular (llamémoslo \(\Delta\)) is inversamente proporcional a la distancia y proporcional al tamaño físico real:
$$ \tan \Delta = \frac{s}{D} $$</p>
<p>La distancia del planetario Adler al centro de Chicago en línea recta es algo menos que 3 kilómetros, así que
$$ \Delta_{\rm (desde~Adler)} \approx 45^\circ~$$</p>
<p>es decir, la ciudad cubre un cuarto de nuestro campo de visión a esta distancia (recordemos que, de oreja a oreja hay 180 grados).</p>
<p>Ahora, Michigan City se encuentra a 60 km de Chicago cruzando el lago, en ese caso, el tamaño aparente de la ciudad es de solamente
$$ \Delta_{\rm (desde~Michigan)} \approx 2.5^\circ~$$</p>
<p>o sea, mucho más chico que nuestro campo de visión, pero aún así aproximadamente 5 veces más grande que el Sol (en la dirección horizontal no más!).</p>
<p>Ahora que tenemos las fórmulas necesarias para calcular \(H_1\) y \(\Delta\), lo podemos hacer para una representación clip-art de la ciudad de Chicago como ésta:</p>
<figure>
<img src="/images/chicago_skyline_black.png" alt="Foo" />
<figcaption> Representación clip-art de la ciudad de Chicago. </figcaption>
</figure>
<p>Podemos ver que la representación está un poco desactualizada, pero los principales rascacielos se pueden identificar claramente. Para nuestros propósitos prácticos, consideraremos que Chicago es un rectángulo con una altura 527 m (la altura de la Torre Sears, con las antenas) y de 2.8 km de ancho. Con éstos números, y nuestra altura (digamos \(h=1.75~\)m) podemos calcular \(H_1\) y \(\Delta\) para distintos valores de la distancia \(D,\) y <strong>ver cómo Chicago se va achicando y hundiendo!</strong></p>
<h2 id="chicagodesdemichigan">Calculando cómo se ve Chicago desde Michigan City</h2>
<p>He calculado el <strong>tamaño aparente</strong> y el <strong>hundimiento por debajo del horizonte</strong> de la ciudad de Chicago para cuatro distancias distintas: 10 km, 20 km, 40 km y 60 km. Esta última es la distancia a Michigan City.</p>
<figure>
<img src="/images/chicago_skyline_distance.png" alt="Foo" />
<figcaption> Chicago achicándose y hundiéndose a medida que la distancia del observador aumenta de 10 km a 60 km (figure credit D.J.Munoz). </figcaption>
</figure>
<p>Enfoquémonos en el último ejemplo (60 km de distancia). En este caso, el hundimiento es \(H_1=240~\)m, es decir, casi <strong>la mitad \((46\%)\) de la ciudad de Chicago se encuentra por debajo del horizonte</strong>! Y sólo los edificios más altos se pueden ver.</p>
<figure>
<img src="/images/chicago_skyline_from_michigan.png" alt="Foo" />
<figcaption> Vista a mayor detalle del tamaño aparente de Chicago por detrás del horizonte a una distancia de 60 km (figure credit D.J.Munoz). </figcaption>
</figure>
<p>Ahora, aclaremos algo. Para este cálculo yo usé \(h=1.75~\)m, lo que implica que el observador está a la orilla del lago en Michigan City (casi mojándose los pies) observado la ciudad. Si es que, en lugar de la orilla del lago, el observador se encontrara en una calle aledaña a la playa (o un segundo piso de alguna casa cercana), la altura \(h\) sería mayor. Como ejemplo, supongamos que los pies del observador están a más de 6 metros de altura (en total, \(h=8~\)m). Entonces, la visión de Chicago será así:</p>
<figure>
<img src="/images/chicago_skyline_from_michigan_higher_up.png" alt="Foo" />
<figcaption> Vista a mayor detalle del tamaño aparente de Chicago por detrás del horizonte a una distancia de 60 km (figure credit D.J.Munoz). </figcaption>
</figure>
<p>La diferencia es menor (el hundimiento ahora es \(H_1=195~\)m), pero importante, ya que muchos edificios tienen alturas de aproximadamente 200 metros, entonces, al reducir \(H_1\) de 240m a 195m, estos edificios comienzan a aparecer en el horizonte.</p>
<h2 id="fotosdesdemichigan">Fotos tomadas desde Michigan City</h2>
<p>Michigan City es ideal para apreciar los efectos la curvatura de la Tierra, no sólo porque se encuentra en oposición a Chicago, si no también porque hay una infinitud de fotos en Internet. Es en especial importante el hecho que de Michigan City tiene un punto de referencia: el faro en la costa (ver imagen de Google maps abajo). Este faro te da una <strong>referencia clara respecto de la orientación del fotógrafo al momento de capturar la imagen</strong>, así como una idea de la altura a la que fue tomada.</p>
<iframe src="https://www.google.com/maps/embed?pb=!1m18!1m12!1m3!1d12001.425950997369!2d-86.9204269!3d41.7271026!2m3!1f0!2f0!3f0!3m2!1i1024!2i768!4f13.1!3m3!1m2!1s0x8811a8054df20a91%3A0xc739818fcd53696e!2sMichigan+City+Lighthouse%2C+Michigan+City%2C+IN+46360!5e1!3m2!1sen!2sus!4v1536007575877" width="600" height="450" frameborder="0" style="border:0" allowfullscreen=""></iframe>
<p>Entonces, cómo andan nuestros cálculos?</p>
<p>La siguiente imagen de Imgur está tomada my cerca del agua, como pueden ver por la cercanía al faro. Uno puede contar 8 o 10 edificios, aunque sólo 4 sobresalen claramente. Estos 4 rascacielos son,
de izquierda a derecha: <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Willis_Tower">Sears Tower</a>, <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Aon_Center_(Chicago)">Aon Center</a>, <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Trump_International_Hotel_and_Tower_(Chicago)">Trump Tower</a>, y al final <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/John_Hancock_Center">Hancock Center</a>.</p>
<blockquote class="imgur-embed-pub" lang="en" data-id="QnGYDEJ"><a href="//imgur.com/QnGYDEJ">Chicago skyline this summer, from Michigan City, IN at sunset</a></blockquote>
<script async="" src="//s.imgur.com/min/embed.js" charset="utf-8"></script>
<p>Qué pasa si la foto está tomada a una altura ligeramente mayor? Consideremos esta imagen de Reddit
tomada en la misma zona (ahí está el faro), pero a una altura mayor (se puede ver gente en la playa). Los edificios son casi los mismos, pero aparecen otros de menor altura.</p>
<blockquote class="reddit-card" data-card-created="1536011174"><a href="https://old.reddit.com/r/chicago/comments/50rj81/downtown_chicago_from_indiana/?ref=share&ref_source=embed">downtown chicago from indiana</a> from <a href="http://www.reddit.com/r/chicago">r/chicago</a></blockquote>
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<p>Finalmente, podemos encontrar una imagen en Imgur tomada a varios metros por sobre el nivel del lago. Ahora muchos edificios aparecen, aunque casi todos los edificios de baja altura aún están por debajo del horizonte.</p>
<blockquote class="imgur-embed-pub" lang="en" data-id="Dk50Iio"><a href="//imgur.com/Dk50Iio">Chicago Skyline from Michigan City, Indiana.</a></blockquote>
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<p>Con eso terminamos este (largo) post! Con una serie de fotos y simples cálculos, hemos demostrado cómo la curvatura de la Tierra es apreciable a simple vista a 60 kilómetros de distancia.</p>Diego J. MuñozLa ciudad de Chicago puede verse a grandes distancias debido a sus altos edificios y la escasa topografía de la zona. Incluso se puede ver desde Michigan City, al otro lado del enorme Lago Michigan.Punto de Fuga2018-08-16T00:00:00+00:002018-08-16T00:00:00+00:00https://laformadelatierra.com/tierra/punto-de-fuga<p>La línea del horizonte se encuentra a una distancia enorme (“infinita”)? O simplemente a sólo algunos kilómetros de distancia? Cuál es la relación entre el horizonte y el punto de fuga?</p>
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<header><h4 class="nav__title"><i class="fas fa-file-alt"></i> Contenidos</h4></header>
<ul class="toc__menu" id="markdown-toc">
<li><a href="#el-horizonte-y-el-infinito" id="markdown-toc-el-horizonte-y-el-infinito">El Horizonte y el Infinito</a></li>
<li><a href="#el-cálculo" id="markdown-toc-el-cálculo">El Cálculo</a></li>
<li><a href="#el-experimento" id="markdown-toc-el-experimento">El Experimento</a></li>
</ul>
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<p>Todos sabemos que a medida que un objeto se aleja, se ve más pequeño. El objeto no ha cambiado en sí. Es el <strong>tamaño angular</strong> que éste cubre en nuestro campo de visión el se reduce con la distancia (ver siguiente figura ilustrando este efecto). Uno puede extrapolar este hecho y afirmar que, a medida que el objeto se va “hacia el infinito”, su tamaño angular se reducirá a cero. Cuando el objeto <strong>se reduce a un punto</strong>, la ubicación de éste es conocida como <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Punto_de_fuga"><strong>el punto de fuga</strong></a>.</p>
<figure>
<img src="/images/vanishing_point.png" alt="Foo" />
<figcaption> El "punto de fuga", es la proyección hacia el infinito del tamaño angular de un objecto, percibido por un observador a medida que el objeto se aleja de éste (figure credit D.J.Munoz). </figcaption>
</figure>
<p>La geometría básica detrás del concepto de punto de fuga sirve como herramienta esencial en la ilustración de perspectiva tridimensional. Esta técnica es de conocimiento común para diseñadores, artistas y arquitectos. Para <strong>representar la perspectiva del observador</strong> en el papel, uno utiliza el infinito, posicionándolo en algún punto del cuadro, generando líneas rectas (paralelas en el mundo 3D, pero convergentes en la proyección 2D) a partir de ese punto de origen.</p>
<p>Como ejemplo, he usado una foto que tomé en Noviembre de 2017 en ciudad de México, cerca del Zócalo (ver figura). Primero, uno identifica la ubicación del punto de fuga en la imagen, y luego traza líneas rectas a partir de ese punto (segundo panel). Uno puede incluir trazos adicionales que representan las líneas que son verticales en el espacio 3D real (tercer panel), para finalmente asignar colores que separen las distintas estructuras (cuarto panel).</p>
<figure>
<img src="/images/mexico_vanishing_point.png" alt="Foo" />
<figcaption> Perspectiva de calles de Ciudad México, dibujadas usando la técnica del punto de fuga (figure credit D.J.Munoz). </figcaption>
</figure>
<h2 id="el-horizonte-y-el-infinito">El Horizonte y el Infinito</h2>
<p>Cuál es la relación entre estos conceptos y la línea del horizonte?
Es la desaparición de barcos en el horizonte un efecto de la curvatura de la Tierra, o una consecuencia de la distancia, similar a la de punto de fuga?</p>
<p>Pues bien, la diferencia entre mirar al infinito y mirar al <strong>verdadero horizonte</strong> es muy clara cuando el observador se encuentra sobre superficies de radio de curvatura pequeño (es decir, sobre una esfera pequeña). La siguiente figura ilustra esta diferencia.</p>
<figure>
<img src="/images/horizon_simple.png" alt="Foo" />
<figcaption> Diferencia entre ``mirar al infinito'' a la altura de los ojos y mirar al horizonte. El horizonte está a una distancia que depende del radio de curvatura (el radio de la Tierra) y su ubicación se encuentra por debajo de la línea horizontal de nuestra visión (figure credit D.J.Munoz) </figcaption>
</figure>
<p>A medida que el radio de curvatura \(R\) crece (es decir, el tamaño de la esfera sobre la que estamos parados aumenta), el ángulo \(\theta\) se reduce. Cuando el radio \(R\) is infinito – lo que equivale a decir que la superficie sobre la que estamos parados <strong>es plana</strong> – entonces \(\theta=0^\circ\). Es decir, si uno <strong>viviera sobre un plano infinito</strong> (o el radio de curvatura \(R\) is infinito), el <strong>el horizonte siempre estaría a nivel de los ojos</strong>, como se ilustra en la siguiente figura, <strong>sin importar la altura del observador.</strong></p>
<figure>
<img src="/images/horizon_multiple.png" alt="Foo" />
<figcaption> El ángulo del horizonte por debajo de la línea de visión a medida que aumentamos el radio de la Tierra. Cuando la Tierra es un plano infinito, el horizonte está siempre al nivel de los ojos, sin importar la altura del observador (figure credit D.J.Munoz). </figcaption>
</figure>
<h2 id="el-cálculo">El Cálculo</h2>
<p>Ahora que tenemos los principios básicos a la mano, calculemos la diferencia entre el punto de fuga, y el horizonte debido a la curvatura. Es una diferencia apreciable a simple vista?</p>
<p>Veamos. Ya sabemos que el infinito está a un ángulo de cero grados (\(0^\circ\)) por debajo de la línea de visión horizontal. A cuántos grados por debajo de la línea de visión está el horizonte?</p>
<p>Si el radio de la Tierra is de aproximadamente 6400 km y tú mides 1.75 metros, entonces,
por trigonometría básica (ver siguiente figura), el horizonte se encuentra a
una distancia \(d\)</p>
<figure>
<img src="/images/horizon_angle.png" alt="Foo" />
<figcaption> Trigonometría básica detrás del cálculo de la distancia a la que se encuentra el horizonte (figure credit D.J.Munoz). </figcaption>
</figure>
<p>Usando el <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pitágoras">teorema de Pitágoras</a>,
podemos concluir que esta distancia al horizonte (\(d\)) satisface la fórmula</p>
<p>\begin{align}
d^2 &= (R + h)^2 - R^2 = 2Rh + h^2 \<br />
{\rm o\;sea}\<br />
d &= \sqrt{2\times6400000\times1.75 + 1.75^2}~{\rm metros} = 4732~{\rm metros}
\end{align}</p>
<p>Es decir, <strong>el horizonte se encuentra sólo 5 kilómetros de distancia</strong>!!
Por supuesto, esto es asumiendo la ausencia de obstáculos (montañas, árboles, edificios), por lo que representa la realidad en lugares con muy poco relieve o a la orilla del mar.</p>
<p>Ahora, lo que nos interesa es ese ángulo \(\theta\). De nuevo, usando el triángulo
rectángulo en la figura anterior, sabemos que existe una relación entre los lados
del triángulo y una propiedad de \(\theta\) conocida como el coseno:
$$ \cos\theta = \frac{R}{R+h} $$</p>
<p>Usando, como antes, \(R=6400\) km y \(h=1.75\) m, tenemos que el ángulo es
$$ \theta = 0.04^\circ $$</p>
<p>Es decir, la diferencia entre mirar directo al infinito (a la altura de los ojos)
y mirar el horizonte en el mar, es de sólo 0.04 grados. Apreciar esta diferencia a simple vista (sin instrumentos) no es fácil. La resolución angular promedio del ojo humano es cerca de <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Simple_vista">0.02 grados</a> por lo que somos apenas capaces <strong>físicamente</strong> de notar esta diferencia. Para que el horizonte baje, digamos, un grado completo, por debajo de la línea horizontal, tendríamos que ir mucho más alto. Reemplazando \(\theta=1^\circ\) en la formula anterior, encontramos que la altura necesaria es de \(h=975\) metros! Lo que supera la altura del
<a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Burj_Khalifa">edificio más alto del mundo</a>. Esta dificultad puede ser superada por el experimento descrito a continuación.</p>
<h2 id="el-experimento">El Experimento</h2>
<p>Observemos el atardecer sentados sobre la playa y lo más cercanos a la orilla como sea posible.
Digamos que, sentados de tal forma, la altura de nuestro ojos sobre el nivel del mar
es de apenas 40 cm. Usando las mismas dos formulas de arriba, la distancia al horizonte
y el ángulo por debajo de la horizontal son, respectivamente \(d=\)2.3 km y \(\theta=0.02^\circ\). Esperemos a que el Sol se oculte completamente. Apenas esto ocurra, pongámonos de pie rápidamente, y retrocedamos algunos pasos alejándonos de la orilla (y subiendo un poco nuestra elevación). Digamos que ahora nuestros ojos están a 2.5 m por sobre el nivel del mar: entonces \(d=\)5.7 km y \(\theta=0.05^\circ\). <strong>Ahora podemos ver
\(0.03^\circ\) más por debajo de la horizontal que estando sentados!!</strong></p>
<p>Con este pequeño ángulo extra, parte del Sol (que ya se había puesto) será nuevamente visible (por muy poco). Es esta diferencia apreciable? Bueno, el Sol tiene <strong>un tamaño angular</strong> de \(0.5^\circ\), es decir, con \(0.03^\circ\) podemos ver un 8% del diámetro del Sol. Es poco, pero lo suficiente como para ver una franja de luz (en este caso, lo que importa es la cantidad de luz, más que el tamaño angular), la cual es visible porque estamos mirando desde mayor altura, corriendo el horizonte hacia abajo, lo que ocurre debido a la curvatura de la Tierra.</p>Diego J. MuñozLa línea del horizonte se encuentra a una distancia enorme (“infinita”)? O simplemente a sólo algunos kilómetros de distancia? Cuál es la relación entre el horizonte y el punto de fuga?Las Estrellas de Cabeza2018-08-07T00:00:00+00:002018-08-07T00:00:00+00:00https://laformadelatierra.com/tierra/las-estrellas-invertidas<p>Te has dado cuenta de que la constelación de Orión está dada vuelta? Sabes por qué?</p>
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<li><a href="#el-cielo-a-lo-largo-del-territorio-chileno" id="markdown-toc-el-cielo-a-lo-largo-del-territorio-chileno">El Cielo a lo Largo del Territorio Chileno</a></li>
<li><a href="#orión-de-patas-arriba" id="markdown-toc-orión-de-patas-arriba">Orión de Patas Arriba</a></li>
</ul>
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<p>Se le atribuye al pensador griego Eratóstenes <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Eratóstenes">(artículo en Wikipedia)</a> la primera medición del radio de la Tierra. Sin embargo, Eratóstenes vivió durante el siglo 3 A.C., y a esa altura los griegos ya tenían una idea clara de que la Tierra no era plana. Según historiadores de la Grecia Antigua y Clásica <a href="https://www.amazon.com/Early-Greek-Astronomy-Aristotle-Aspects/dp/0801493102">(en este libro, por ejemplo)</a>, ya en la época de Aristóteles, todo “pensador de reputación estaba convencido de la que Tierra era redonda” (traducción mía). Entonces, antes de la medición precisa de Erastóstenes (que revisaremos en algún futuro post), cómo llegaron los griegos a concluir sobre la forma de la Tierra?</p>
<p>Los griegos de la Epoca Clásica (siglos 5to y 4to A.C.) eran – junto con los fenicios y los cartaginenses – los más avezados navegantes del Mediterráneo. Tal vez, eso de que “los barcos desaparecen bajo el horizonte” fue suficiente prueba de que la superficie del Mundo tenía algún grado de curvatura. Sin embargo, los griegos tenían otra fuente de convincente evidencia: el cielo.</p>
<p>La Astronomía occidental (al igual que la, ejem, Astrología) tiene sus cimientos en la Grecia Clásica y Helénica. Los griegos eran entusiastas observadores del Firmamento! Los astros jugaron un rol muy importante tanto en su ciencia como en su mitología. La extensión Norte-Sur de los territorios que estaban bajo influencia griega (desde el Mar Negro hasta Egipto, unos 1300 kilómetros) les permitió percatarse de que ciertos astros en el cielo no eran visibles desde todas partes. Aristóteles afirmó que ciertas estrellas visibles desde Chipre no serían visibles desde el norte de Grecia <a href="https://books.google.com/books?id=MLbmAgAAQBAJ&pg=PA489&lpg=PA489&dq=aristotle+Cyprus+%22which+are+not+seen+in+the+northerly+regions%22&source=bl&ots=kkNGn4Emks&sig=v4Z-OAVqtj8_cRokvpRxCxI1f8Q&hl=en&sa=X&ved=2ahUKEwj81bHuntzcAhWSyoUKHdG0DEIQ6AEwAnoECAkQAQ#v=onepage&q=aristotle%20Cyprus%20%22which%20are%20not%20seen%20in%20the%20northerly%20regions%22&f=false">(página 489 de este libraco de acá)</a>.</p>
<p>Así como una persona parada en una loma (ver figura) no puede ver los objetos localizados más allá de cierto ángulo (sin importar la distancia a la que dicho objeto se encuentre!), dos personas situadas en distintas partes de la Tierra, no ven exactamente las mismas estrellas. Para notar este efecto a simple vista, se necesitan algunos cientos de kilómetros de distancia entre los dos puntos de observación.</p>
<figure>
<img src="/images/curved_surface_observer.png" alt="Foo" />
<figcaption> Superficies curvas bloquean objetos de nuestro campo de visión (figure credit D.J.Munoz). </figcaption>
</figure>
<h2 id="el-cielo-a-lo-largo-del-territorio-chileno">El Cielo a lo Largo del Territorio Chileno</h2>
<p>La siguiente figura (obtenida del sitio <a href="http://www.skyviewcafe.com/">skyviewcafe.com</a>) consiste de un mapa del cielo visto desde dos lugares de Chile al mismo tiempo (12 de enero de 2019 a las 23:59:00). Cada mapa del cielo es representado como un círculo. El <strong>horizonte</strong> (que en la práctica puede estar bloqueado por cerros, árboles u otro obstáculo) es la circunferencia del círculo. El centro del círculo corresponde a mirar directamente arriba (por ejemplo, acostados sobre el suelo), es decir, a un ángulo de noventa grados (\(90^\circ\)) respecto del horizonte. Esta ubicación se conoce como el <strong>cénit</strong>. El ángulo entre alguna estrella y el horizonte, se conoce como la <strong>elevación</strong>.</p>
<p>En la figura, he marcado la posición de tres constelaciones: La <strong>Cruz del Sur</strong> o Crux (en azul), parte de <strong>Centauro</strong> (en verde) y la famosa <strong>Orión</strong> (rojo), que discutiremos en más detalle luego. Además, he destacado una de las estrellas más brillantes en el cielo de verano, Canopus (en morado).</p>
<figure>
<img src="/images/two_skies.png" alt="Foo" />
<figcaption> El cielo visto desde dos ubicaciones separadas por 3000 kilómetros. (figure credit skyviewcafe.com).</figcaption>
</figure>
<p>Lo primero que uno puede notar es que, al ir desde Arica a Puerto Montt, las constelaciones de han movido hacia arriba. En particular, la elevación de Alfa Crux – el extremo inferior (o más a la derecha) de la cruz – es de 12 grados vista desde Arica (apenas por sobre el horizonte). En cambio, vista desde Puerto Montt, la elevación de Alfa Crux es de 31 grados: <strong>18 grados de diferencia</strong>! Análogo es el caso de Canopus. Canopus está casi bajo la línea Norte-Sur en el mapa (al igual que Arica-Puerto Montt). La elevación de Canopus vista desde Arica es de 55 grados, mientras que desde Puerto Montt es de 76 grados: <strong>21 grados de diferencia</strong>, mas o menos lo mismo que en el caso de Alfa Crux. De donde vienen estos <strong>20 grados de rotación</strong>? Pues simplemente de la <strong>diferencia en latitud entre Arica y Puerto Montt</strong>, que es de 23 grados aproximadamente (Arica tiene latitud sur de 18 grados, y Puerto Montt de 41 grados). Por qué la diferencia no es exactamente igual en todos los casos? Porque no solamente importa la diferencia Norte-Sur, sino que la diferencia Este-Oeste. El hecho de que Chile esté extendido aproximadamente a lo largo del eje Norte-Sur ayuda en este ejercicio, pero aún hay un par de grados extra que se nos quedan en el bolsillo.</p>
<p>Por último, hablemos un poco de las estrellas en el círculo verde. Éstas son parte de la constelación de Centauro. Las dos más brillantes son Alfa y Beta Centauri, pero en el cielo de Arica sólo Beta Centauri es visible. Es precisamente éste el fenómeno que comentó Aristóteles en sus<a href="https://books.google.com/books?id=MLbmAgAAQBAJ&pg=PA489&lpg=PA489&dq=aristotle+Cyprus+%22which+are+not+seen+in+the+northerly+regions%22&source=bl&ots=kkNGn4Emks&sig=v4Z-OAVqtj8_cRokvpRxCxI1f8Q&hl=en&sa=X&ved=2ahUKEwj81bHuntzcAhWSyoUKHdG0DEIQ6AEwAnoECAkQAQ#v=onepage&q=aristotle%20Cyprus%20%22which%20are%20not%20seen%20in%20the%20northerly%20regions%22&f=false"> apuntes</a>. Según sus comentarios, la Tierra tenía que ser curva, y probablemente esférica. Más aún, dijo que no podía ser muy grande, dado lo notorio del efecto al moverse uno solamente algunos cientos de kilómetros.</p>
<h2 id="orión-de-patas-arriba">Orión de Patas Arriba</h2>
<p>Ahora, enfoquémonos en Orión. Esta constelación también se ha movido, pero es interesante por un motivo adicional: está de cabeza. En ambos mapas del cielo que puse arriba – o si van afuera durante el verano y la buscan – Orión aparece así:</p>
<figure>
<img src="/images/orion_observer_south.png" alt="Foo" />
<figcaption> Las estrellas de la constelación de Orión y estrellas colindantes como sería vista desde el hemisferio sur (figure credit D.J.Munoz).</figcaption>
</figure>
<p>Sin embargo, si buscan en Google imágenes de Orión, encontrarán algo así:</p>
<figure>
<img src="/images/orion_observer_north.png" alt="Foo" />
<figcaption> Estrellas en y alrededor de Orión (izquierda) y el diagrama de la constelación (derecha) como son presentadas frecuentemente en libros de texto y fuentes de internet (figure credit D.J.Munoz).</figcaption>
</figure>
<p>Bueno, en esta figura, claramente Orión está al revés de como la podríamos ver en Chile. Sin embargo, ésa es la orientación “oficial”, es decir, la que le dieron los griegos al identificar este conjunto de estrellas con la figura mitológica del arquero.</p>
<p>Resulta que esta <strong>inversión de Orión</strong> no es más que otra consecuencia de la curvatura de la Tierra. En la siguiente imagen, pueden apreciar que Orión no está “de cabeza”, si no que lo estamos nosotros en el hemisferio sur!</p>
<figure>
<img src="/images/orion_upside_down.png" alt="Foo" />
<figcaption> La orientación de la constelación de Orión depende de si estamos en el hemisferio
norte o sur. (figure credit D.J.Munoz).</figcaption>
</figure>
<hr />
<hr />
<p>Estos fenómenos del cielo son pura consecuencia de <strong>la curvatura de la Tierra</strong>, y pueden ser corroborados por ti hoy mismo, esta noche, simplemente saliendo a mirar las estrellas.</p>Diego J. MuñozTe has dado cuenta de que la constelación de Orión está dada vuelta? Sabes por qué?Los cálculos de Eratóstenes2018-07-25T00:00:00+00:002018-07-25T00:00:00+00:00https://laformadelatierra.com/tierra/los-calculos-de-eratostenes<h1 id="como-sabian-los-griegos-que-la-tierra-era-esferica">Como sabian los griegos que la Tierra era esferica?</h1>
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